有限元基础矩阵知识
声明:本文是初等有限元教程 矩阵部分的学习笔记。
基础定义
向量:只有一列或一行的矩阵, 通常用加粗小写字母表示
a =方阵:行数=列数
转置:行列互换
B= BT=对称矩阵:B=BT 的方阵(Mij=Mji)
B=对角矩阵:仅对角线非零
单位矩阵I:对角线均为1的对角矩阵
零矩阵:所有的元素为0
矩阵加减法
- 运算:相同维度矩阵下,对应位置元素相加减
- 符合规律
矩阵乘法
- 运算:
- 与常数c相乘:每个元素都乘以c
- 点积:
- 向量a的长度:
= - 矩阵相乘:相邻矩阵维度相同
维度mxn * 维度nxp 得到维度mxp
乘法规律
分配律
行列式
假设
- 对于维度为nxn方阵A可以计算A的行列式,记作det A
- A的次(Minor)矩阵(
)- 将元素所在的i行和k列删除得到一个(n-1)x(n-1)维度的方阵
- e.g:
- A的余子(Cofactor)矩阵(
) - A的行列式:
- e.g.: i=1时
可以用对角线快速计算(主对角线-次对角线)
- 性质:
- 存在整行(列)的行列式均为0的方阵的行列式为0
- 存在两行(列)成比例的方阵行列式为0
- 整行(列)乘以c则行列式也乘以c
- 行(列)运算不影响行列式的值(整行放大加减另一行)
- 整行(列)交换,行列式互换符号
逆矩阵
- 定义
- 伴随矩阵是余子式的逆矩阵 记作
, - 当
时为奇异(singular)矩阵 - 当
\mathbf A^{-1} $时, 称为正交(Othogonal)矩阵
线性方程式
- 线性方程形如:
- 当
时称为齐次(homogenoes)方程式- 当
时,存在非平凡(non-trivial)解 - 当
时,只存在存在平凡(trivial)解
- 当
- 当
时称为非齐次(homogenoes)方程式,有限元通常关心这种- 当
时,有唯一解 - 当
时,没有唯一解,可能无解,也可能无数解 - 高斯消元法, 先将矩阵三角化成上三角矩阵,则最后一个元素可解,不断向上迭代可以求得整个解
- 当
- 当
线性方程式切割
- 每个方程式切割(partition)需要注意同时切割同一行
- eg:
展开为 =
可以将其拆解为 , =
此时左端项为
未知项
右端项
- eg:
矩阵的微分与积分
每个矩阵对应元素做积分或微分即可
参考文献:
1.MD数学公式参考https://www.cnblogs.com/blknemo/p/16745637.html