声明:本文是初等有限元教程 矩阵部分的学习笔记。

基础定义

  • 向量:只有一列或一行的矩阵, 通常用加粗小写字母表示
    a = [ad]

  • 方阵:行数=列数

  • 转置:行列互换
    B=[abcdef] BT=[adbecf]

  • 对称矩阵:B=BT 的方阵(Mij=Mji)
    B=[abcbefcff]

  • 对角矩阵:仅对角线非零

  • 单位矩阵I:对角线均为1的对角矩阵

  • 零矩阵:所有的元素为0

矩阵加减法

  • 运算:相同维度矩阵下,对应位置元素相加减
  • 符合规律
    • A±B=±B+A
    • AT±BT=±BT+AT

矩阵乘法

  • 运算:
    • 与常数c相乘:每个元素都乘以c
    • 点积:aTb=[a1a2a3][b1b2b3]=a1b1+a2b2+a3b3=1naibi=bTa
    • 向量a的长度:|a|=a2+b2+c22= aTa2
    • 矩阵相乘:相邻矩阵维度相同

      维度mxn * 维度nxp 得到维度mxp

      • c=Ax=[A11A12A21A22A31A32][x1x2]=[A11x1+A12x2A21x1+A22x2A31x1+A32x2]

      • C=AB=[A11A12A21A22A31A32][B11B12B21B22]=[A11B11+A12B21A11B12+A12B22A21B11+A22B21A21B12+A22B22A31B11+A32B21A31B32+A12B22]

      • 乘法规律

        • AI=A
        • (AB)T=BTAT
        • (ABC)T=((AB)C)T=CT(AB)T=CTBTAT
        • (Ax)T=xTAT
        • cAB=A(cB)
      • 分配律

        • (A+B)x=Ax+Bx
        • xT(A+B)=xTA+xTB
        • (A+B)C=AC+BC
        • C(A+B)=CA+CB

行列式

假设A=[A11A12A21A22]

  • 对于维度为nxn方阵A可以计算A的行列式,记作det A
  • A的次(Minor)矩阵(detMik
    • 将元素所在的i行和k列删除得到一个(n-1)x(n-1)维度的方阵
    • e.g:detM11=A22 detM21=A12
  • A的余子(Cofactor)矩阵(Aikc)
    • Aikc=(1)i+kdetMik
  • A的行列式:
    • detA=1nAikAikc
    • e.g.: i=1时
      detA=1nA1kA1kc=A11(1)1+1detM11+A12(1)1+2detM12=A11A22A12A21

      可以用对角线快速计算(主对角线-次对角线)

  • 性质:
    • detAT=detA
    • detAB=detAdetB
    • det(A+B)detA+detB
    • 存在整行(列)的行列式均为0的方阵的行列式为0
    • 存在两行(列)成比例的方阵行列式为0
    • 整行(列)乘以c则行列式也乘以c
    • 行(列)运算不影响行列式的值(整行放大加减另一行)
    • 整行(列)交换,行列式互换符号

逆矩阵

  • 定义A1A=AA1=I
  • 伴随矩阵是余子式的逆矩阵 记作adjA, A1=adjA/detA(detA0)
  • detA=0 时为奇异(singular)矩阵
  • AT=\mathbf A^{-1} $时, 称为正交(Othogonal)矩阵

线性方程式

  • 线性方程形如:Ax=b
    • b=0时称为齐次(homogenoes)方程式
      • detA=0时,存在非平凡(non-trivial)解
      • detA0时,只存在存在平凡(trivial)解x
    • b0时称为非齐次(homogenoes)方程式,有限元通常关心这种
      • detA0 时,有唯一解 x=A1b
      • detA=0时,没有唯一解,可能无解,也可能无数解
      • 高斯消元法, 先将矩阵三角化成上三角矩阵,则最后一个元素可解,不断向上迭代可以求得整个解

线性方程式切割

  • 每个方程式切割(partition)需要注意同时切割同一行
    • eg:Ax=f 展开为 [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] [x1x2x3] = [f1f2f3]
      可以将其拆解为[BCDE] , [yz] = [gh]
      此时左端项为 B=[a11a12a21a22] C=[a13a23] D=[a31a32] E=[a33]
      未知项y=[x1x2] z=[x3]
      右端项g=[f1f2] h=[f3]

矩阵的微分与积分

每个矩阵对应元素做积分或微分即可

参考文献:
1.MD数学公式参考https://www.cnblogs.com/blknemo/p/16745637.html